格雷码

数据结构、算法与应用 第一张练习 26

两个代码之间的 海明距离 (Hamming distance) 是对应位不等的数量。 例如：100和010的海明距离是2。 一个（二进制）格雷码是一个代码序列，其中任意相邻的两个代码之间的海明距离是1。 子集生成的序列 000，100，010，001...111 不是格雷码，因为100，010海明距离是2。 而三位代码序列 000，100，110，010，011，111，101，001是格雷码。

在代码序列的一些应用中，从一个代码到下一个代码的代价取决于它们的海明距离。因此我们希望这个代码序列是格雷码。格雷码可以用代码变化的位置序列简洁地表示。 对于上面的格雷码，位置序列是1，2，1，3，1，2，1.

令g(n)是一个n元素的格雷码的位置变化序列。以下是g的递归定义：

    1                   n=1
    g(n-1),n,g(n-1)     n>1

注意这个是位置变化序列，并不是格雷码生成。

以下为算法

递归版：

#include <iostream>
#include <cmath>
/*
 *  格雷码序列数量是 2^n，相应的变化序列数量是 2^n - 1
 */
int * GrayCodeChangeSequence( int n ){
    int len   = pow(2,n)-1;
    int * arr = new int[len];
    if( n<2 ){ arr[0]=1; return arr; }

    int half  = (len-1)>>1;
    int * half_arr = GrayCodeChangeSequence( n-1 );

    for( int i=0; i<half; i ++ ){
        arr[i] = half_arr[i];
    }
    arr[half] = n;
    for( int i=0; i<half; i ++ ){
        arr[i+half+1] = half_arr[i];
    }

    return arr;
}

void testGCCS( int n ){

    int * b = GrayCodeChangeSequence(n);
    for( int i = 0; i< pow(2,n)-1 ; i++ ){
        std::cout << b[i] << ' ';
    }
    std::cout << endl;
    delete[] b;
}

int main()
{
    testGCCS(1);
    testGCCS(2);
    testGCCS(3);
    testGCCS(4);
    testGCCS(5);
}

测试分别输出：

1
1 2 1
1 2 1 3 1 2 1
1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1
1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1

优化

实际上格雷码修改序列生成和斐波那契数列的生成效率是需要进一步优化的，原因在于每一次收到递归结果，都需要遍历一次结果并且覆盖到当前的序列中。从渐进意义上来说，复杂度是O(n2) 而且相对于序列的长度增长渐进意义上远大于n，这个时候如果能够在一次遍历的情况下配合少量计算那么可以将复杂度降低至O(n)

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数据结构、算法与应用 第一张练习 19，20

阶乘 n! Factorial

阶乘是非常常见的数学计算以及算法入门问题。 其中 0,1,2,6,24,120... fn = n ( n<=1 ) fn = n * fn(n-1) (n>1) 使用递归实现是非常直观和简单的：

递归版本

int factorial( int n ){
    return n>1 ? n*factorial(n-1) : n;
}

迭代版本

int factorial( int n ){
    int res = n;
    while( n>1 ){
        res *= --n;
    }
    return res;
}

斐波那契 Fibonacci

1.斐波那契数

斐波那契数列是算法里最基础的概念了。

其中 0，1，1，2，3，5，8... fn = n ( n<=1 ) fn = fn(n-2) + fn(n-1) ( n>1 )

同样递归版本是简单而直观的：

递归版：

int fabonacci( int n ){
    return n>1 ? fabonacci( n-1 ) + fabonacci( n-2 ) : n;
}

递归版的Fibonacci效率是有严重缺陷的，主要是由于在合并两次之和时，两边进行了重复的计算，而每次重复计算也都是包含了更多迭代版本中更多的重复。这里由于递归而造成的重复计算复杂度为 O( 2∧n )

迭代版：

/*
 * n>0 当n<=0时，默认不考虑
 * 使用双指针缓存本次和上次结果，并进一步迭代
 */
int fabonacci( int n ){
    int l = 1;
    int r = 1;
    for( int i = 2; i <= n; i ++ ){
        r = l + r;
        l = r - l;
    }
    return r;
}

迭代版的斐波那契数的复杂度仅为O(n)

2.Fibonacci数列

/*
 * 返回数组首元素，数组长度为n n>0
 */
#include <iostream>
#include <cstdlib>
int * fabonacci( int n ){
    int * a = new int[n];
    a[0] = 1;
    if( n<2 ) return a;
    a[1] = 1;
    for( int i = 2; i < n; i++ ){
        a[i] = a[i-1] + a[i-2];
        a[i-1] = a[i] - a[i-2];
    }
    return a;
}

int main()
{
    int n   = 8;
    int * b = fabonacci(n);
    for( int i = 0; i<n; i++ ){
        std::cout << b[i] << std::endl;
    }
}

这段代码会输出:

1
1
2
3
5
8
13
21

最长公共子序列是一个经典的基础算法问题 在两个序列中 如果序列1中的元素a也存在于序列2，则认为a是1，2的公共元素。 当序列3中的每一个元素都能够满足在不改变次序的情况下依次属于1，2，那么则认为3是1，2的公共子序列。多个公共子序列中，元素最多的即为最长公共子序列。

在学堂在线的算法课程中，有比较详细的课程讲述这个算法的构思。但是没有给出具体的实现，这里来自己实现一下。

首先使用表格模拟排列组合的所有情况: 以{a,b,c,d,e},{a,b,q,c,b}为例:

实际上看到这样的填充，直觉上就应该反应出来，使用二维数组来解决。 其中当 A[i]!=B[j]时，取左方或者上方更大的，而A[i]==B[j]的时候，取T[i-1][j-1] + 1。这里i=0或j=0的时候就不方便了，所以给矩阵默认增加一行 0 行。即

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数据结构、算法与应用 C++语言描述

第一章 习题25

子集生成法（Subset Generation）

三元素集{a,b,c}的子集是：{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}。 这些子集又可以使用01序列来表示，分别是000,100,010,001,110,101,011,111。 0/1分别代表着 含有/不含 原集合中的对应元素。

输出n个元素的所有子集（以01序列的形式）。

在网上看了一下基本上最终输出的都是数组，但并没有按照题目输出01序列。所以我这里严格按照题目来解。

分析

子集生成是一个完全排列组合问题，包括退化情况空集，以及极限情况自身。 其他的情况分别是[1,n)个元素的任意组合。 所以如果递归的话，也就是每一次元素数量+1 或者是-1，如果不是输出01序列，那么输出的元素个数就刚好等于递归中的n。输出序列的时候，只需要在其他位置补0即可。而补0逻辑也可以反过来考虑，即默认是n个0 e.g. 0000，随着循环的i改变，在不同的位置上填1e.g. 0001,0010,0100,1000，这样更加便捷。

至此，已经有了算法的模型了：

/* Subset Generation */
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

template <typename T>
void subsetGeneration( T* const A, int len, string code = "", int focus = 0 ){

    if( focus > len ) return;
    if( focus == len ){ cout << string(len,'1') << endl; return; }
    if( focus == 0 ){ cout << string(len,'0') << endl; }

    if( code == "" ){ code = string(len,'0'); }

    code[focus] = '1';
    for( int i = focus; i<len; i++ ){
        code[i] = '1';
        cout << code << endl;
        code[i] = '0';
    }

    subsetGeneration( A, len, code, focus + 1 );
}
int main(){

    subsetGeneration( "abcd", 4 );
    return 0;
}

思考1 上述算法已经成功解题，但是思维略显复杂，直觉上就感觉不是一个优质解。

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