一个公式变形学会不定积分换元求法

我在学不定积分的时候遇到了很多习题都没有找到求解的方式，在看课程(高等数学-宋浩)的时候也经常对

“ 把XX提出来到dx里面，………… ” 这样的一句话十分困惑，特别是对这句话一知半解的时候，再遇到 ∫arctan(√x) d(√x) 这样的式子出现一脸懵的情况。

于是我重新分析了换元公式，总算找到了一个更容易理解的方式来掌握这个知识点。

首先看课本上定义的换元公式（同济7版 p194）：

$$ \displaystyle \int f[\phi(x)]\phi^,(x) dx = [ \int f(u) du ] _{u=\phi(x)} $$

我们对这个公式简单做一点改动：

$$ \displaystyle \int f(x)g(x) dx = \int f(x) d[\int g(x)dx ] $$

什么意思呢，积分式子中的一部分(乘除法 (加减法可以直接拆开两个) ) 可以求积分，直接放到积分变量中去，这样是不是比书上的容易理解多了。

但是这个式子，在具体做题的时候还是不太方便，所以将这个式子再做一点调整得到一个除法公式：

$$ \displaystyle \int f(x)dx = \int \frac {f(x)} {g(x)^,} d[g(x)]
$$

说明：求积分的时候，替换积分变量x 为 g(x) ，那么 原式 除以 g(x)的导数即可。

用这个公式来做计算，就特别方便了。以习题来做个例子：

习题4-2 2 (20)

$$ \displaystyle \int \frac { arctan \sqrt x } {\sqrt x (1+x) } dx $$

解：原式

$$ \displaystyle = \int [ \frac { arctan \sqrt x } {\sqrt x (1+x) } / \frac{1} {2\sqrt x} ] d(\sqrt x)) $$

$$ \displaystyle = 2\int \frac { arctan \sqrt x } {1+x } d(\sqrt x) $$

再做一次替换 (由于 arctan√x 是对 √x 求导，所以不用对 √x复合求导)

$$ \displaystyle = 2\int [\frac { arctan \sqrt x } {1+x } / \frac {1}{1+x} ] d(arctan\sqrt x) $$

$$ \displaystyle = \int arctan \sqrt x d(arctan \sqrt x) $$

$$ \displaystyle = 2 * \frac{1}{2} * arctan^2 \sqrt x = arctan^2 \sqrt x $$

用这样的步骤，算起来省心省力，实在是符合我的程序员思维。 简直是一个通用API了。